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◆◆수학은 영원불멸한 진리인가?
수학에 대해 영원불변의 것이라고 생각하는 사람들은 절대주의적 진리관을 가졌다고 볼 수 있고 수학적 진리는 상대적이라고 생각하는 사람들은 상대주의적 진리관을 가졌다고 본다.
이 때 진리를 보는 관점은 비단 학문에 관해서 뿐만이 아니라 살아가는 전반에 걸쳐서 그의 가치관을 지배하게 된다.
따라서 진리는 영원불변의 것이라고 생각하는 사람에게 있어 학습은 새로운 것을 개척하는 인간의 노력에 대해 비중을 두기 보다는, 그 영원한 진리를 각자가 받아들이는 방식에 더 비중을 두게 마련이고, 수학을 가르치고 배울 때도 '수학은 약속'이라는 것을 내세워 학생이 이해할 것을 강조하게 된다.
반면에 진리를 상대적으로 보는 사람은 "인간은 만물의 척도'라는 사상과 연결해서 자기 마음의 심상에 비추어서 세상을 보려고 할 것이다.
이 말은, 객관적으로 이미 존재하는 절대적 진리가 있기 보다는 세상은 주관적으로 해석하기 나름이 될 수도 있다는 말이다. 따라서 여기서는 '사람'이 중요해 진다.
코페르니쿠수가 "태양이 지구를 도는 것이 아니라 지구가 태양 주위를 도는 것이다"라는 것을 발견하기 전까지만 해도 "태양이 지구를 도는 것"이 당연한 진리였을 것이다. 따라서 우리가 지금 그 당시 이전에 살고 있는 것이라면 그 말을 진리로 알고 살다가 죽을 것이다.
하지만 우리는 코페르니쿠스 이후에 태어났고, 따라서 현재는 "지구가 돈다"는 것을 당연하게 받아들인다. 이것 하나만 보아도 시대에 따라 진리가 바뀔수 있다는 것을 알 수 있다. 이것은 과학적 사실에 해당되는 사건이었지만 수학에서도 이와 마찬가지의 역사적 사건들은 많이 있다.
예를들어, 피타고라스 학파는 수가 자연수와 정수와 유리수만 있다고 주장했었고 무리수의 존재를 알고도 그 사실을 끝내 숨겼지만 결국 무리수는 세상 밖에 나왔다는 널리 알려진 역사적 사실이 있다.
이와 같이, 만약 우리가 현재 당연하게 알고 있는 수학적 사실이 앞으로 얼마 후 에 코페르니쿠스적인 대 전환을 맞아 송두리째 바뀔수도 있는 일 아닌가!
진리라고 알려진 것에 대해 너무나 당연하게 여기고, 전혀 비판적으로 바라보지 않는 다면 진리가 바뀌는 일은 없을 것이다.
하지만 우리는 사실이 아닌 것으로 밝혀진 수학적 경험을 많이 갖고 있다는 것은 진리는 상대적인 것이라는 것을 증명해 준다고 볼 수 있다.
수학이라고 하는 것은 수를 다루는 학문이지만, 정확하게는 구체적 사물을 통해 추상적 성질들을 추출해 내고 또 그것들의 논리적 관계를 다루는 학문이라는 것이 더 맞는다고 생각한다.
따라서 수학에서의 사실이라고 하는 것은 과학에서와는 달리 눈으로 보아(경험을 통해) 받아들이는 게 아니라, '관계'를 통해서 그 논리적 관계에 따라 '사실'이라고 인정되거나 그렇지 않거나 하는 것이다.
그나마 자연수 처럼 구체물(활동)을 통해서 그 성질을 추상(일반화)해 낼 수 있는 것 조차도 아닌, 시각적인 구체적 대상이 없이 순전히 관계로서만 정의되고 다루어지는 수학적 대상들이 있다면 (음수, 무리수, 허수...) 우리들은 그 관계가 사실인지 아닌 지를 눈으로 확인할 수는 없다. 그것은 무모한 일이 될 것이다.
왜냐하면 그 수들은 처음부터 눈(물리적 경험)으로 볼 수 있는 것을 통해서 발견된 것이 아니기 때문이다.
초등과정의 수학과 중학 이후의 수학은 그런 면에서 구별된다.
활동과 구체적인 경험을 통해서 수학적 일반화를 했다고 해도 그것은 불완전하다. 수학적 사실은 증명되었을 때 비로소 완전해 지며, 그것 또한 증명을 위한 가정에서 어떤 논리적 비약이나 모순이 있었을 때에는 수정될 수 밖에 없다.
그 당시에는 너무도 명백하게 보여서 수학적 진리로 여겨졌던 것이, 2000년 동안의 수 많은 수학자들의 끈질긴 탐구에 의해서 최근에야 비로소 처음과는 다른 모습으로 나타난 사실이 있다는 것을 기억해야 한다.
우리가 알고 있는 수학은 극히 초보적인 수준의 수학이지만, 그것이 완벽해 보인다고 해서 수학이 영원불멸이라는 믿음을 가진다면 우리는 언제나 '진리로서 효과적으로 받아들이는' 입장에서 수학을 대할 수 밖에 없을 것이다.
수학의 명쾌하고 단순 간결한 모습은 아름답기 그지없다.
많은 사람들이 수학의 그런 모습에 취해서 매력을 느끼고 수학에 호감을 갖는다는 것도 사실이다.
하지만 더불어 기억해야 할 것은,
수학적 진리로 여겨졌던 것들도 분명히 탄생하고 발전하고 죽어가기도 한다는 것이다.
따라서 수학을 가르치고 배울 때에는 "영원한 진리"에 대해서 아이들이 '잘' 받아들이는 것(방법적인 면)에 대해 중점을 둘 게 아니라 "수학을 발달 시키는 원동력- 탐구력, 호기심, 반성적 사고-을 중점에 두어야 한다고 생각한다.
우리에게는 매우 많은 수학적 진리를 배워서 가슴에 안고 살아가는 게 필요하기 보다는, 수학적으로 문제를 해결하고 수학적으로 생각하는 것이 필요하기 때문이며 그것은 살아가는 방식과 연결이 되기 때문이다.
******이 글은 제 카페에 제가 쓴 글을 이 곳에 그대로 옮긴 것입니다.
